Предельный переход под знаком функции

Предел функции | Математика, которая мне нравится

предельный переход под знаком функции

какие хорошие полезные теоремы о предельном переходе под знаком . Если последовательность интегрируемых функций $\{f_n\}$. сходится равномерно в этом сегменте к предельной функции, то при любых Следствие (предельный переход под знаком интеграла с переменным. Предельный переход под знаком интеграла. При этом у предельной функции интеграл по Е равен конечной величине или и имеет место формула.

Тогда функция x lim x является интегрируемой на и lim x d x lim x d x.

математический-анализ / Предельный переход под знаком интеграла / Математика

Тогда если существует такое положительное число M, что 5 3 x d x. M для всех N, то почти всюду на существует конечный предел lim x xфункция интегрируема на и x d x lim x d x.

предельный переход под знаком функции

З а д а ч и В задачах 3 рассматривается только линейная мера Лебега. Вычислим предел для остальных точек рассматриваемого отрезка: Так как линейная мера Лебега множества [0,] Q равна нулю, то множество точек, в которых последовательность не сходится к нулю на отрезке [0,], имеет меру нуль.

Вопрос 35. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.

Проверить выполнение условий теоремы Лебега о монотонной сходимости и теоремы Б. Леви для последовательности функцийзаданных на отрезке [0,]. Можно ли утверждать, что 5 5 lim x dx lim x dx?

предельный переход под знаком функции

Ясно, что 0 при [0,]. Проверим, является ли последовательность монотонной. Проверим выполнимость условий теоремы Б.

В силу аддитивности интеграла имеем I x dx dx dx [ 0, ] [ 0, ] ], ] 3.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

Поэтому не существует такого M, для которого I M при всех N. Леви к данной последовательности не применима. Найти и сравнить интегралы. В силу аддитивности интеграла имеем lim d lim d d d [ 0, ] [, ] [ 0, [ ], ] lim d d 0 l. Поэтому лемма Фату применима.

Рассмотрим возможность применения теоремы Лебега о предельном переходе. Далее — некоторое кольцо множеств. Конечно-аддитивную функцию множества будем называть мерой. Счётно-аддитивную функцию множества будем называть счётно-аддитивной мерой. Неотрицательную монотонную полуаддитивную функцию множества будем называть субмерой. Клим-кина были получены некоторые условия равностепенной абсолютной непрерывности, в частности, следующие две теоремы. В диссертации доказаны следующие теоремы.

Далее в диссертации введено новое понятие слабой диагональпости последовательности функций множества. Ранее аналогичный критерий был получен В. Это является существенным недостатком теоремы Климкина. Алякина [7] было введено определение диагональной непрерывности последовательности субмер.

предельный переход под знаком функции

В диссертации принято похожее, но более общее определение, к тому же накладывающее на последовательность функций множества более слабые условия. С использованием понятия диагональной непрерывности в диссертации получен следующий критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер. Построен контрпример пример 1.

предельный переход под знаком функции

Также построен контрпример пример 1. В главе 2 рассмотрен вопрос о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, точнее — об усилении теоремы Витали-Арешкина. Далее X — некоторое пространство, Т — некоторая сг-алгебра с единицей X. Рассматриваемые меры действуют из Т в [0, -f-oo и принимают на пустом множестве значение 0. Вторая теорема заменяет в теореме Витали-Арешкина условие сходимости всюду последовательности подынтегральных функций более слабым условием сходимости последовательности подынтегральных функций по мере относительно каждой из мер последовательности Теорема 2.

Получены достаточные условия, при выполнении которых из равномерной непрерывности сверху на пустом множестве семейства таких функций следует равномерная непрерывность семейства их супремаций.

Александров показал, что в любом некомпактном нормальном сг-топологическом пространстве существует регулярная скалярная конечная аддитивная исчерпывающая функция множества, которая не является счётно-аддитивной, то есть не обладает свойством непрерывности сверху на пустом множестве. В работе [37] А. Саженков дал положительный ответ па поставленный вопрос: В работе [31] В.

Климкин указал довольно широкий класс неаддитивных функций множества, для которых из регулярности и непрерывности сверху на пустом множестве следует исчерпываемость.

предельный переход под знаком функции

Особо следует отметить случай боре левею IX мер. В работе [40] Дьедонне доказал теорему: Пусть Ф —- семейство конечных регулярных борелевских мер на сг-кольце борелевских множеств компактного хаусдорфова топологического пространства. Если меры семейства Ф являются равномерно исчерпывающими на классе открытых множеств, то они равномерно непрерывны.

В работе [46] А. В диссертации результат В. Климкина [31] обобщается на случай семейств функций множества. Назовём пару Х,т сг-топологическим пространством, если X — некоторое множество, г С. Пусть Т С си — некоторый класс замкнутых множеств. Тогда они равномерно непрерывны на алгебре 5".

I научно-технической конференции факультета математических знаний. Секция математики и механики. Об одном обобщении теоремы Витали о переходе к пределу под знаком интеграла.